مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می*شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می*دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی*ست.
شاخه*ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می*پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.
خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل*خواه هستند:)
جمع ضرب
بسته بودن:
a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری:
a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:
a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس:
a + (−a) = 0
توزیع پذیری:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه*های صفر:
اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو مع*** فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می*دهد که مجموعهٔ به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبت به ضرب عضو وارون (یا مع***) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی*سازد.
مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک*ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می*گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل*خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ*ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می*دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده*آل اصلی می*باشد و هر عدد طبیعی بزرگ*تر از یک را می*توان به طور یکتا به حاصل*ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)
نظریه اعداد
نظریه اعداد شاخه*ای از ریاضیات محض است که در مورد خواص اعداد صحیح بحث می**کند.
نظریه مقدماتی اعداد
در نظريه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش*های به*کار رفته در سایر شاخه*های ریاضی بررسی می**کنند. مسائل تقسیم*پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ*ترین مقسوم*الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی*ها در این رده هستند. برخی از یافته*های مهم این رشته قضیه کوچک فرما،قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل*ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.
حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده* آن*ها نیازمند کوشش بسیار و به*کار گرفتن روش*های نوین است. چند نمونه:
• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج*های اعداد اول،
• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
• حدس اعداد اول مرسن در مورد بينهايت بودن اعداد اول مرسن و ...
همچنین ثابت شده که نظريه معادلات دیوفانتی تصمیم*ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)
نظریه تحلیلی اعداد
در نظريه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می*شود. مثال*هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به*صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته*اند. اثبات متعالی بودن ثابت*های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم*هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می*آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله*ای*ها با ضریب*های صحیح مانند e را بررسی می*کنند. همچنین این*گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می*توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟
نظریه جبری اعداد
در نظريه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه*های چند جمله*ای*هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می*یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی*های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش*های استفاده شده در این رشته (مثل نظريه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش*های گروه*ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین م*کند.
حمله به بسیاری از سؤالات نظریه اعداد به صورت "پیمانه p، برای کلیه اعداد اول p" مناسب*تر است (به میدان*های متناهی مراحعه کنید.) به چنین کاری "محلی سازی" می**گویند که به ساختن عدد p-ای می*انجامد. نام این رشته "تحلیل موضعی" است که از نظریه اعداد جبری ناشی می*شود.
نظریه هندسی اعداد
نظريه هندسی اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد می*گفتند) جنبه*هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می*دهد؛ و از قضیه مین***کی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه*های محدب و تحقيق در مورد چپاندن کره*ها (sphere packings) در فضای Rn شروع می*شود.
نظریه ترکیبیاتی اعداد
نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می*پردازد که با روش*های ترکیبیاتی بررسی می*شوند. پل اردوش بنیان*گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود.
نظریه محاسباتی اعداد
نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم*های مربوط به نظریه اعداد می**پردازد. الگوریتم*های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند .
به مجموعه*ی اعداد زیر ،* اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می*دهند:
::{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است.
این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.
شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی*های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.
________________________________________
ویژگی*های جبری
اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است.
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی*تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

جمع ضرب
بسته بودن a × b یک عدد صحیح است a+b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری a + (b + c) =(a + b) + c a × (b × c)=(a × b) × c
جابجایی a+b = b+a a×b = b×a
عضو همانی a+0 = a a×1 = a
وارون a+ (−a) = 0 ندارد
توزیع پذیری (a×(b + c) = (a × b)+(a × c


با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو مع*** در Z نیستند.
________________________________________
اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی*مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد.
________________________________________
تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی



می*خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه*ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم.
رابطه*ی ~ را روی __Nتعریف می*کنیم:
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b
رابطه*ی فوق یک رابطه*ی هم*ارزی است.
به مجموعه*ی کلاس های هم ارزی رابطه*ی هم*ارزی ~ ، اعداد صحیح می*گویند.

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم*ارزی.
مثلا 3=کلاس هم*ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم*ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }.
شکل روبرو تعریف را ساده*تر نمایش می*دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم*ارزی است که اعضای هر کلاس هم*ارزی با یک رنگ نشان داده شده*اند.

تئوری اعداد number theory شاخه ای از ریاضیات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد.


تئوری مقدماتی اعداد
اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیک های ریاضی به کار رفته در سایر شاخه ها بررسی می کند . مسائل بخش*پذیری divisibility ، الگوریتم اقلیدسی Euclidean algorithm ، محاسبه ی بزرگترین مقسوم الیه مشترک greatest common divisors ، تجزیه ی اعداد به اعداد اول prime numbers ، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی ها congruences در این رده هستند . نمونه ها قضیه ی کوچک فرما Fermat’s little theorem ، و قضیه ی اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضیه ی باقیمانده ی چینی Chinese remainder theorem و قانون تقابل درجه ی دوم quadratic reciprocity هستند . خواص توابع ضربی multiplicative functions مانند تابع موبیوس Mobius function و تابع اولر Euler's φ function و همینطور دنباله ی اعداد صحیح integer sequences مانند فاکتوریل هاfactorials و اعداد فیبوناچی Fibonacci numbers در همین حوزه بررسی میشوند . بسیاری از سؤالات در تئوری مقدماتی اعداد شدیداً عمیق هستند و نیاز به بازنگری هایی دارند . به عنوان نمونه :
• انگاره*ی گلدباخ Goldbach conjecture که می*گوید آیا هر عدد زوجی حاصل*جمع دو عدد اول است یا نه.
• انگاره*ی کاتالان Catalan’s conjecture که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است .
• انگاره*ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture که در مورد بینهایت بودن اعداد اول دوقلو است.
• انگاره*ی کولاتز Collatz conjecture که در مورد تکرار ساده می*باشد .
• معادلات دیوفانتیDiophantine نیز هنوز تصمیم ناپذیر است.
تئوری تحلیلی اعداد Analytic number theory
از حسابان calculus و آنالیز مختلط complex analysis برای مطالعه*ی اعداد صحیح استفاه می کند و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند که در تئوری مقدماتی اعداد بررسی و بحث در مورد آن بسیار دشوار به نظر می*رسد . قضیه*ی اعداد اول prime number theorem و فرضیه ریمان Riemann hypothesis مثال هایی از آن هستند . مساله ی وارینگ Waring’s problem ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ،انگاره*ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture(که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخ Goldbach’s conjecture ( که عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالی بودن transcendence ثابت های ریاضی ، مانند e و پی در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e و پی به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine aproximation ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا rational تقریب زد ؟

تئوری جبری اعداد
مفهوم عدد را به اعداد جبری algebraic numbers که همان ریشه های چند جمله ایها با ضرایب گویا rational coefficient هستند گسترش می*دهد.در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام اعداد صحیح جبری algebraic integers وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند تجزیه یکتا the unique factorization) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory ، میدان همانستگی field cohomology ، تئوری رده ی میدان class field theory ، نمایش گروه ها group representations و L-تابع*ها L-functions این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p برای کلیه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به میدانهای متناهی finite fields مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization می گویند که به ساختمان اعداد p ادیک p-adic numbers می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local analysis می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود .

تئوری ترکیبیاتی اعداد
به بررسی ، مطالعه و حل مساله*های تئوری اعداد با استفاده از تکنیک*های ترکیبیاتی می*پردازد. پل اردوش کارهای بزرگی در این زمینه انجام داد. روش*های جبری و تحلیلی در این شاخه از تئوری اعداد کاربرد فراوان دارند.

تئوری هندسی اعداد
همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از قضیه ی مین***کی Minkowski’s theorem در ارتباط با نقاط مشبکه lattice points در مجموعه های محدب convex sets و جستجو در بسته بندی کره ها sphere packings شروع می شود .هندسه جبری بخصوص خم*های بیضوی elliptic curves نیز به کار می آیند .این تکنیک*ها در اثبات آخرین قضیه معروف فرما Fermat’s last theorem تاثیر فراوان داشته اند .

تئوری محاسباتی اعداد computational number theory
به الگوریتم های تئوری اعداد می پردازد والگوریتم های سریع برای امتحان اعداد اول prime testing و تجزیه اعداد صحیح integer factorization در مبحث کریپتوگرافی cryptography کاربرد های مهمی دارند .

.






________________________________________
تاریخچه تئوری اعداد
بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، باشه دو مزیریاک Bachet de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولر Euler و لاگرانژ Lagrange به قضیه پرداختند و در همین مواقع لژاندر Legendre و گاوس Gauss به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitiones Arithmeticæ حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .

چبیشفChebyshev کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند . (قضیه ی عدد اول prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صریح تئوری اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت .
تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :
(mod(c

چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر قانون تقابل درجه ی دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت . این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در تئوری اعداد Théorie des Nombres برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریکله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie او یک مقاله ی کلاسیک است) ؛ ژاکوبی Jacobi که علامت ژاکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد ؛ لیوویلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می شود. نمایش اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است . کوشی ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاین Eisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و تئوری فرمها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد .